新教材高中数学集合与常用逻辑用语5全称量词与存在量词2

04/505/5/全称量词命题和存在量词命题的否定[课程目标]1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律；2.正确地对含有一个量词的命题进行否定．知识点含有一个量词的命题的否定[研读]全称量词命题的否定与全称量词命题的真假性相反，存在量词命题的否定与存在量词命题的真假性相反．eq\a\vs4\al(【思辨】)判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)“所有的矩形都是平行四边形”的否定是“所有的矩形都不是平行四边形”．(×)(2)“所有偶数都能被4整除”的否定是“有些偶数不能被4整除”．(√)(3)“?x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是“?x∈R，x2－2x＋1<0”.(√)(4)“存在一个质数不是奇数”的否定是“所有质数都是奇数”．(√)(5)的真假性相反．(√)【解析】(1)“所有的矩形都是平行四边形”的否定是“有些矩形不是平行四边形”．根据含有一个量词的命题的否定结论可知，(2)(3)(4)正确．(5)存在量词命题p与其否定p一真一假．eq\o(\s\up7(),\s\do5(全称量词命题的否定))eq\a\vs4\al(例1)写出下列全称量词命题的否定，并判断该否定的真假．(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；(2)p：每一个四边形的四个顶点共圆；(3)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于1.解：(1)p：存在一个能被3整除的整数不是奇数．是真命题．(2)p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．是真命题．(3)p：存在x∈Z，x2的个位数字等于1.是真命题．[规律方法](1)全称量词命题的否定：将全称量词变为存在量词，再否定它的结论，全称量词命题的否定是存在量词命题．(2)对省略全称量词的全称量词命题要补回全称量词再否定．解题中若遇到省略“所有”“任何”“任意”等量词的简化形式，这时则应先将命题写成完整形式，再依据法则写出其否定形式．活学活用写出下列命题的否定．(1)三个给定产品都是次品；(2)数列1，2，3，4，5中的每一项都是偶数；(3)任意a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；(4)所有可以被2整除的整数，其末位数字是0.解：(1)三个给定产品中至少有一个不是次品．(2)数列1，2，3，4，5中至少有一项不是偶数．(3)存在a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．(4)存在能被2整除的整数，其末位数字不是0.eq\o(\s\up7(),\s\do5(存在量词命题的否定))eq\a\vs4\al(例2)写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假．(1)p：?x∈R，2x＋5≥0；(2)p：?x∈R，x2－3x＋eq\f(9,4)<0；(3)p：有些分数不是有理数．解：(1)p：?x∈R，2x＋5<0，p为假命题．(2)p：?x∈R，x2－3x＋eq\f(9,4)≥0.因为x2－3x＋eq\f(9,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)≥0，所以p为真命题．(3)p：一切分数都是有理数，p为真命题．[规律方法](1)存在量词命题的否定：将存在量词变为全称量词，再否定它的结论，存在量词命题的否定是全称量词命题．(2)对省略存在量词的存在量词命题要补回存在量词再否定．解题中若遇到省略“有一些”“有一个”“存在”等量词的简化形式，这时则应先将命题写成完整形式，再依据法则写出其否定形式．活学活用判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．(1)p：有一个奇数不能被3整除；(2)p：有些三角形的三个内角都是60°； (3)p：有的一元二次方程有实数根．解：(1)p是真命题，如5不能被3整除．p：任意一个奇数都能被3整除．(2)p是真命题，等边三角形的三个内角都为60°.p：任意三角形的三个内角不都为60°.(3)p是真命题，如方程x2－2x＋1＝0有实根x1＝x2＝1.p：所有的一元二次方程都没有实数根．eq\o(\s\up7(),\s\do5(全称量词命题、存在量词命题的应用))eq\a\vs4\al(例3)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－2≤x≤5))))，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若命题p：“?x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围．解：由于命题p：“?x∈B，x∈A”是真命题，所以B?A.当B≠?时，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.当B＝?时，则m＋1>2m－1，解得m<2.综上，m的取值范围是m≤3.活学活用已知命题p：存在x>a，使得2x＋a<3是假命题，求实数a的取值范围．解：由题意，p：对任意x>a，都有2x＋a≥3是真命题，等价于：对任意x>a，不等式2x＋a≥3恒成立，从而有2a＋a≥3，即a≥1.eq\a\vs4\al(例4)已知命题p：?x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≥0，q：?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若p和q都是真命题，求实数a的取值范围．解：p和q都是真命题?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤x2在x∈{x|1≤x≤2}上恒成立，,x2＋2ax＋2－a＝0有解))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤1，,4a2－4（2－a）≥0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤1，,a2＋a－2≥0))?a≤－2或a＝1.1．下列命题中，真命题的个数是(B)①存在实数x，使x2＋2<0；②面积等于1的三角形都全等；③有些三角形是钝角三角形．A．0B．1C．2D．3【解析】因为x2≥0，所以x2＋2＞0，故①是假命题；面积相等的三角形不一定全等，所以②是假命题；显然③是真命题．2．命题“?x∈R，使得x2＋2x<0”的否定是(C)A．?x∈R，使得x2＋2x≥0B．?x∈R，使得x2＋2x>0C．?x∈R，都有x2＋2x≥0D．?x∈R，都有x2＋2x<0【解析】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以，命题“?x∈R，使得x2＋2x＜0”的否定是：?x∈R，都有x2＋2x≥0.故选C.3．已知命题p：存在a∈{x|x<0}，a2－2a－1>0，那么命题p的否定是(D)A．存在a∈{x|x>0}，a2－2a－1≤0B．存在a∈{x|x<0}，a2－2a－1≤0C．对任意a∈{x|x>0}，a2－2a－1≤0D．对任意a∈{x|x<0}，a2－2a－1≤04．全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是(C)A．所有能被5整除的整数都不是奇数B．所有奇数都不能被5整除C．存在一个能被5整除的整数不是奇数D．存在一个奇数，不能被5整除【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，而A，B是全称量词命题，所以A，B错．因为“所有能被5整除的整数”的否定是“存在一个能被5整除的整数”，所以D错，C正确，故选C.5．已知命题p：?x∈R，2x2－3a>0，若p是真命题，则实数a的取值范围是__a≥0__．【解析】p：?x∈R，2x2－3a≤0，所以3a大于或等于2x2的最小值，即a≥0.6．已知命题p：“?x∈R，ax2＋2x＋1≠0”的否定为真命题，则实数a的取值范围．解：p：?x∈R，ax2＋2x＋1＝0为真命题?方程ax2＋2x＋1＝0有解，当a＝0时，显然有解；当a≠0时，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≠0，,Δ＝4－4a≥0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≠0，,a≤1.))综上可得a≤1.